Fundamentos de S istemas Dinámicos

 

1.     

¿Qué es un sistema?

Cuando se habla de un sistema, se dice que es un conjunto de elementos relacionados entre sí que funciona como un todo. Así sea que en algunos casos se presenten elementos que cumplen una función independiente, siempre formara parte de una estructura que trabaja en conjunto para cumplir una labor deseada, es decir, es una “unión de cosas de manera organizada”.

Encontramos que los sistemas se pueden dividir en dos grandes grupos, sistemas conceptuales, son aquellos de tipo abstracto e intangible, por ejemplo los conjuntos ordenados de conceptos e ideas, el segundo sistema son los materiales, estos son tangibles, concretos y están compuestos por componentes físicos, todos estos organizados para cumplir un propósito, un fin que garantice su éxito; por ello, los sistemas están presentes en muchos campos, ocupaciones, ciencias y hasta en nuestra vida cotidiana, debido a su gran importancia.

2.      ¿Qué es un sistema estático?

Es aquel en el cual sus elementos son constantes y fijos, pues las salidas dependen solamente de las entradas; es decir, si la entrada no cambia el sistema es estético y cambia solo cuando la entrada cambia, este también permanece constante en el tiempo.

Algunos ejemplos de sistemas estéticos son, un recipiente con agua en el que no entra ni sale líquido, se mantiene constante, también encontramos otros ejemplos como la estructura de un edificio, una piedra, una montaña, entre otros.

3.      ¿Qué es un sistema dinámico?

Cambian o presentan una evolución respecto al tiempo en todos los puntos de un espacio determinado, en este se producen cambios de variables, movimientos o incluyen fuerzas activas, a diferencia de las condiciones estáticas sin movimiento; tales como, el universo, átomo, la tierra, un hongo, etc.

Es un sistema que mantiene en un cambio constante, debido a su organización interna; su importancia se centra en que existen muchos tipos de relaciones entre variables, aquellas llamadas funciones, ya que permiten hacer descripciones exactas de las variables que caracterizan un sistema. por ello, estas reflejan los diferentes estados de posición de un objeto, como el movimiento de un péndulo, por esta razón es utilizada en muchos campos pues, implica tener una o varias funciones que describen como evoluciona ese fragmento de la realidad, así garantizando un buen análisis y permiten obtener o predecir valores de una determinada magnitud para dar respuesta a problemas o necesidades del mundo real de cualquier tipo.

4. ¿Cuáles son los tipos de sistemas dinámicos y mencione dos ejemplos de cada

uno?

Los diferentes tipos de sistemas dinámicos son:

1.      Discretos y continuos

Un sistema dinámico se dice discreto si el tiempo se mide en pequeños lapsos, y si el tiempo es medido en forma continua, el sistema dinámico continuo resultante es expresado como una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo:

o   La edad de los egresados de una carrera.

o   La longitud de las avenidas de una ciudad.

 

2.      Autónomos y no autónomos

Un sistema autónomo es aquel en el que no existe una dependencia explícita del tiempo

por ejemplo:

o   el péndulo no lineal forzado dado por la ecuación no homogénea (3.9.1) x ¨ + ω 2 sin x = f ( t)

 

3.      Invariantes en el tiempo o variantes en el tiempo

Un sistema es invariante en el tiempo si éste no depende explícitamente del tiempo, dos trayectorias que pasen por el mismo punto en diferentes tiempos tendrán la misma evolución con un desplazo en el tiempo.

De no cumplir con la ecuación, el sistema dinámico recibe el nombre de sistema variante en el tiempo.

4.      lineales y no lineales

Los sistemas lineales son aquellos en los que la expresión de la ecuación o la relación entre sus parámetros es lineal. Por ejemplo, x(t+1) = 3x(t). y los sistemas no lineales son aquellos en los que la relación entre los parámetros de la ecuación no es lineal. Por ejemplo, x(t+1)=3(x(t))2 .

 

5. ¿Qué es trayectoria?

Es el camino que toma un objeto cuando está en movimiento, el cual sigue a través del espacio en función del tiempo, esta depende del punto de vista del observador. En la mecánica clásica la trayectoria es una línea recta siempre continua.

Existen muchos ejemplos del común como, la trayectoria de una bala disparada con un arma, un atleta lanzado una jabalina o un avión en el cielo. Cuando ya hablamos de una trayectoria en un sistema dinámico, es aquel espacio que esta descrito por un campo vectorial que rige un recorrido de las variables del sistema, respecto al tiempo; por ello, las trayectorias ayudan a analizar el comportamiento de un sistema dinámico y así mismo predecir su evolución futura.

6. ¿Qué es una salida?

Es aquel resultado del proceso realizado por el sistema dinámico, estas dependen de las variantes con el tiempo de las variables de estados y las entradas, también de las perturbaciones que presente el sistema. estas salidas pueden ser de información, energía, recursos, dependiendo del uso o utilización que se le quiere dar, pues son creados para cumplir un objetivo.

Por ejemplo; en un circuito eléctrico, su salida puede ser el voltaje o la corriente; por ello, se dice que estos sistemas ayudan a calcular ganancias (salida) que se obtendrán con una determinada inversión (entrada) a lo largo del tiempo o predecir la población en el transcurso de unos años, entre otros. 

7. ¿Qué es una entrada?

Es aquella señal que estimula al sistema a tener un determinado comportamiento dinámico, es decir que la entrada determina la salida, pues esta es dependiente a la forma y tipo de señal que se le fue aplicada.

Por ejemplo, si se tiene a una persona patinando, su entrada será el impulso con que fue lanzado, la altura de la rampa y todas sus condiciones de entrada o iniciales, que dependiendo de estas su salida o terminación podrá ser, la velocidad final, aceleración y tiempo de recorrido; también en un sistema mecánico, se podría decir que la entrada es la fuerza aplicada a algún componente o en con circuito eléctrico la entrada sería una fuente de voltaje, entre otros ejemplos.

8. ¿Qué es una variable?

Una variable se puede definir como un cambio, es decir en un sistema seria aquel parámetro que influye cambios o perturbaciones a través del tiempo que afectan el comportamiento de este, por ello, las variables son fundamentales a la hora de hablar de sistemas dinámicos y sus resultados.

Se puede decir que existen dos tipos de variables a modo general, variables exógenas, que son aquellas que afectan al sistema sin que este las provoque y las variables endógenas, estas afectan al sistema por solo si este las provoca.

Un ejemplo que se podría tomar, es la producción de una especie de peces, en la cual se quiere obtener la cantidad de peces que habrá cada año, contando desde su año inicial, aquí se dice que las variables juegan un papel importante para saber cuál va hacer el resultado de este experimento pues, la reproducción de los peces depende de condiciones como la alimentación, clima, entre otros.

Al saber el comportamiento de las variables presentadas en un sistema como en el ejemplo anterior, se puede obtener información sobre la dinámica del sistema y así predecir su resultado, aquí se utilizan las matemáticas, como ecuaciones diferenciales, calculo, etc…

9. ¿A qué se le llama perturbación?

La perturbación en un sistema es aquella que, a diferencia de las variables, afectan negativamente al valor de la salida de un sistema, se pueden denominar de dos maneras; interna, si la perturbación se genera dentro del sistema y externa si se produce por fuera y es una entrada.

Estas afectan al rendimiento que se quieren obtener de un sistema en este caso dinámicos, por ellos se busca disminuir las perturbaciones, con métodos como las técnicas de filtrado, control realimentado, regulación automática o sistemas de control, entre otros, con el objetivo de presentar garantizar un mejor resultado.

10. ¿Qué es el estado en un sistema?

El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de las variables junto con las entradas determinan el comportamiento del sistema en cualquier tiempo.

Cuando hablamos del estado de sistemas, nombramos a las variables de estado, las cuales se necesitan cierta cantidad para describir por completo el comportamiento de un sistema dinámico, esto permite que una vez dado el valor de entrada y se especifica el estado inicial, se puede determinar por completo el estado futuro del sistema.

También se nombra el vector de estado; este determina de manera única el estado del sistema para cualquier tiempo y por ultimo están los espacios de estados, representados en sus dimensiones en los ejes de coordenadas, permite que se represente mediante un punto en el espacio de estados.

11. ¿Qué es un sistema de control?

La función principal de ese sistema es el de supervisar o regular la forma en que se comporta otro sistema para evitar las fallas que se pueden presentar; estos pueden ser de tipo eléctrico, neumático, hidráulico, mecánico, entre otros, deben de seguir la lógica de tres elementos base; una variable a la que se busca controlar. un actuador y un punto de referencia o set-point.

Un sistema de control responde a una entrada por medio de una respuesta transitoria antes de alcanzar una respuesta en estado estable generablemente sigue, intenta igualar a la entrada, es decir, este sistema va a hacer lo posible por cumplir en la misión de seguir las indicaciones dadas por la entrada.

Por ejemplo, el control de granel, donde el objetivo será que el granel se deposite en contendores industriales, la cual es la variable a controlar, lego con el punto de regencia o set-point determinara el límite de llenado y el actuador ejecutara la acción de llenado.

Está diseñado para responder en tiempo real y para mantener una rapidez y precisión a los cambios en el entorno del sistema o las señales de entrada.

12. ¿Qué es control por retroalimentación?

Permite que la salida del sistema o cualquier variable del mismo se compara con la entrada al sistema por cualquier componente del sistema, de tal manera que pueda establecerse la acción de control apropiadas entre la entrada y la salida. es decir, mantienen una relación entre la salida a alguna entrada de referencia haciendo comparación entre ellas y usando la diferencia como un medio de control.

Por ejemplo; el control de temperatura en una habitación, donde el termostato conecta el equipo de calefacción o enfriamiento, otra situación es el control de velocidad en un auto a través de un operador humano.

La retroalimentación existe en un sistema cuando hay una secuencia cerrada de causa-efecto entre las variables de un sistema.

Está en presencia de perturbaciones, tiende a reducir las diferencias entre la salida y entrada del sistema, lo cual se denomina una señal de error, lo cual ayuda a realizar ajustes en tiempo real y así mantener el rendimiento deseado, garantizado un control preciso y confiable.

13. ¿Qué es simulación de Sistemas Dinámicos?

Son modelos matemáticos de sistemas que varían respecto al tiempo, el cual por medio de variables que determinan el estado del sistema del estado futuro, se usa software para simular el comportamiento de los sistemas.

Se usa por varios motivos, es más fácil, económico y seguro de crear que probar con prototipo físico, en ciertos casos el sistema físico no está disponible y reduce el esfuerzo dedicado a pruebas con dichos dispositivos.

Es decir, esta simulación permite predecir el comportamiento de un sistema a lo largo del tiempo, por ello se usan los modelos matemáticos para representar este comportamiento y simular cual serían las respuestas a diversas condiciones, logrando analizar, diseñar, optimizar formar estrategias para lograr el rendimiento deseado; para llevar a cabo esta simulación de sistemas dinámicos, primero hay que tener un desarrollo de modelos matemáticos, luego software de simulación, después se seleccionan de valores de entradas, se hace la simulación y por ultimo va el análisis de resultados.

14. ¡Que es un sistema en lazo abierto?

Un sistema de lazo abierto, es aquel donde la salida no tiene ningún efecto sobre la acción de control, en otras palabras, la salida no se mide ni se realimenta para compararla con la entrada, por lo cual se manejan unas referencias de entrada fijas, por ende, la precisión del sistema depende de su calibración.

Si se presentan perturbaciones, en este sistema no se realiza la tarea deseada pues, estas perturbaciones afectan su funcionamiento, esto implica que este sistema solo sea utilizado cuando se conoce que con anticipación las entradas y que no existan perturbaciones, unos ejemplos que notamos en nuestra vida cotidiana de este sistema son, el control del tránsito mediante señales operadas con una base de tiempo o una lavadora en sus procesos de remojo, lavado y enjuague. pues esta no mide la señal se salida, que es la limpieza de la ropa y operan con base al tiempo.

Estos sistemas de lazo abierto son económicos, pero normalmente inexactos.

15. ¿Qué es un sistema en lazo cerrado?

También nombrados como la salida o señal controlada, estos sistemas son realimentados y comparados con la entrada de referencia, envía una frecuente señal de control proporcional a la diferencia entre la entrada y la salida a través del sistema, lo cual garantiza la disminución del error y corrige la salida.

La señal de salida tiene efecto directo sobre la acción de control, es decir, la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida se la denomina señal de error del sistema, esta señal ejerce una acción sobre el sistema para así llevar la salida a un valor deseado; este sistema puede adaptarse a los cambios y mantener la salida deseada independientemente de las variaciones o perturbaciones que se presenten.

 Un ejemplo seria, el alumbrado público, donde se busca mantener el menor nivel de iluminación en las calles, al menor costo; en este caso la solución sería instalar un dispositivo como un fototransistor, para detectar la cantidad de iluminación, ya con este encender y apagar las luces, según el ejemplo, la entrada seria la cantidad optima de luz en las calles y esta se compararía con la salida que es la cantidad de luz real en las calles.

Estos sistemas son precisos y confiables, aunque más costosos, pero permite controlar sistemas complejos.

16. ¿Qué es Matlab?

Es una plataforma que ayuda a los ingenieros y científicos a analizar y diseñar sistemas y productos, su lenguaje esta bajado en matrices para facilitar la expresión natural de las matemáticas computacionales, por ello su nombre es la abreviatura de “laboratorios de matrices”.

Tiene muchos beneficios como facilitar el desarrollo de la simulación científica gracias a la biblioteca incorporada, se pueden agregar cajas de herramientas, alta eficiencia de colicuación y productividad, ideal para desarrollar aplicaciones, todos estos incluyen cálculos matriciales, desarrollo y ejecución de algoritmos y visualizaciones de datos.

Cuenta con varios programas complementarios como appDesigner o Simulink, que es el que ayuda a crear una simulación gráfica, para poder hacer análisis de sistemas dinámicos, de control, comunicación, entre otros.

17. ¿Qué es simulink y como lo aplicamos a los sistemas dinámicos?

Simulink es una herramienta incluida en Matlab, con el fin del modelado, simulación y análisis del comportamiento de los sistemas dinámicos, se pueden simular sistemas lineales y no lineales, modelos en tiempo continuo y en tiempo discreto, sistemas híbridos.

Esta permite construir diagramas con bloques gráficos, para evaluar el rendimiento del sistema y poder refinar los diseños, contiene dos fases de uso; la definición del modelo y el análisis del modelo, donde primero se construye el modelo a partir de elementos básicos, tales como, integradores, bloques de ganancia o servomotores y luego, se lleva a cabo el análisis del modelo, donde se realiza la simulación, linealización y se determina el punto de equilibrio del modelo.

Simulink edita usando el mouse y prácticamente puede simular cualquier sistema que pueda ser definido por ecuaciones diferenciales continuas y ecuaciones diferenciales discretas, puede modelar sistemas continuos en el tiempo, discretos en el tiempo o sistema híbridos.

Su relación con los sistemas dinámicos, es que nos permite representarlos usando diagramas de bloques.

18. ¿Qué es un circuito eléctrico?

Un circuito eléctrico es una trayectoria o camino a través del cual fluye una corriente eléctrica. La trayectoria puede estar cerrada (unido en ambos extremos), lo que lo convierte en un bucle. Un circuito cerrado hace posible el flujo de corriente eléctrica. También puede ser un circuito abierto donde el flujo de electrones se corta debido a que la trayectoria se rompe. Un circuito abierto no permite que la corriente eléctrica fluya.

También podemos decir que un circuito eléctrico es la combinación de distintos componentes activos y pasivos, como resistores, condensadores, inductores, diodos, transistores, etc., que forman una red eléctrica.

19. ¿Qué es una resistencia y cuál es su unidad de medida?

La resistencia es una medida de la oposición al flujo de corriente en un circuito eléctrico, es decir que como su nombre lo indica, se resiste o retiene el flujo de la energía.

La resistencia se mide en ohmios, que se simbolizan con la letra griega omega (Ω). Se denominaron ohmios en honor a Georg Simon Ohm (1784-1854), un físico alemán que estudió la relación entre voltaje, corriente y resistencia. Se le atribuye la formulación de la ley de Ohm.

Todos los materiales resisten en cierta medida el flujo de corriente. Se incluyen en una de dos amplias categorías:

Conductores: materiales que ofrecen muy poca resistencia, donde los electrones pueden moverse fácilmente. Ejemplos: plata, cobre, oro y aluminio.

Aislantes: materiales que presentan alta resistencia y restringen el flujo de electrones. Ejemplos: goma, papel, vidrio, madera y plástico.

20. ¿Qué es un capacitor y cuál es su unidad de medida?

Un capacitor o también conocido como condensador es un dispositivo capaz de almacenar energía a través de campos eléctricos (uno positivo y uno negativo). Este se clasifica dentro de los componentes pasivos ya que no tiene la capacidad de amplificar o cortar el flujo eléctrico.

Los capacitores se utilizan principalmente como filtros de corriente continua, ya que evitan cambios bruscos y ruidos en las señales debido a su funcionamiento.

La primera unidad de capacidad fue el «tarro», equivalente a alrededor de 1,11 nanofaradios. Empezó a estudiarse la inductancia o medida de la oposición a un cambio de corriente de un inductor que almacena energía en presencia de un campo magnético.

21. ¿Qué es una inductancia y cuál es su unidad de medida?

La inductancia es la propiedad de los circuitos eléctricos mediante la cual se produce una fuerza electromotriz, debido al paso de la corriente eléctrica y a la variación del campo magnético asociado. Esta fuerza electromotriz puede generar dos fenómenos bien diferenciados entre sí.

En el sistema internacional (SI) la unidad de la inductancia es el henrio, en honor al físico estadounidense Joseph Henry.

Según la fórmula para determinar la inductancia en función del flujo magnético y de la intensidad de la corriente, se tiene que:

Por otra parte, si determinamos las unidades de medición que conforman el henrio con base en la fórmula de la inductancia en función de la tensión inducida, tenemos:

en términos de unidad de medición, ambas expresiones son perfectamente equivalentes. Las magnitudes más comunes de inductancias suelen expresarse en milihenrios (mH) y microhenrios (μH).

22. ¿Qué es la ley de ohm, como se representa, como se calcula corriente, voltaje o resistencia?

La ley de Ohm establece la relación que guardan la tensión y la corriente que circulan por una resistencia. Su fórmula es: V=I x R. donde

V es la caída de tensión (o diferencia de potencial) que se produce en la resistencia, y se mide en voltios en el Sistema Internacional (S.I.)

I es la corriente que circula a través de la misma, y se mide en amperios en el S.I.

R es la resistencia, y se mide en ohmios

Si queremos hallar los voltios, simplemente es dependiendo la información que tenga y reemplazar en la formula, para el caso de hallar la resistencia o la corriente que circula, se despeja la ecuación quedando de la siguiente forma, respectivamente, R= V/I y I=V/R

23. ¿Qué importancia tienen las ecuaciones diferenciales en los sistemas dinámicos?

Ya que básicamente los sistemas dinámicos son modelos matemáticos de sistemas que varían a lo largo del tiempo y estos se describen mediante una serie de variables y estas variables en un instante determinan el estado del sistema, además de ello existe un conjunto determinado de reglas que establecen como será el siguiente estado, es decir que por medio de un sistema de ecuaciones diferenciales de las variables que describen el sistema dinámico. De esta forma se utiliza un software de simulación para simular el comportamiento de sistemas representados por modelos matemáticos.

 Los ingenieros y científicos emplean software de simulación por varios motivos:

·         A menudo es más fácil, más económico o más seguro crear y simular un modelo matemático de un sistema real que crear y probar un prototipo físico.

·         Si el sistema físico aún no está disponible, es posible modelizarlo con mayor o menor fidelidad como un sistema dinámico, que se podrá simular para explorar diferentes opciones de diseño.

·         Si se diseña software de control para dispositivos físicos, y una vez esté disponible el sistema real, es posible reducir el esfuerzo dedicado a pruebas con dichos dispositivos gracias al trabajo previo realizado con los modelos matemáticos.

En resumidas palabras, se puede decir que las ecuaciones diferenciales en los sistemas dinámicos, influyen de manera positiva en la reducción de costos para la materialización de un prototipo, lo que reduce mucho el tiempo invertido en las pruebas y de una igual forma con ello se puede disminuir el margen de error del prueba con ayuda de los simuladores matemáticos.